Mois : août 2023

Une opération mathématique, pour être juste, doit revenir à l’infini, sans quoi elle sort de la réalité. C’est là le problème fondamental des mathématiques : ce rapport à l’infini n’est pas flagrant. Lorsqu’on dit 1 + 1 = 2, on sait que c’est vrai, mais on ne voit pas en quoi cela aurait un lien à l’infini.

Ce paradoxe s’explique par le fait que l’infini, mathématiquement, s’exprime possiblement par 0. La dialectique du zéro et de l’infini est indissociable de tout processus mathématique.

Prenons une addition. C’est une opération qui concerne des nombres. Ces nombres étant parfaitement définis, ils relèvent d’une négation, car toute détermination est négation. C’est par là qu’on passe pour rejoindre l’infini.

Prenons une opération comme 1 + 4 + 7. Qu’est-ce qui détermine 1, 4 et 7 ? Eh bien qu’ils ne sont pas 2, 5, 6, 8 et 9, etc. On doit donc considérer la contradiction suivante.

1, 4, 7 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, etc.

Or, on fait face au problème suivant. 1 + 4 + 7 = 12 et le souci est que 12 est censé relever, dans la contradiction, de ce qui est l’opposé de 1, 4 et 7. Il faut donc corriger la contradiction, en modifiant la place de 12.

1, 4, 7, 12 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, etc.

On fait alors face à un nouveau problème. On voit qu’on a 10 et 2 dans la liste des nombres. Or, additionnés ils donnent 12. Or, 12 est censé s’opposer à 10 et 2, en étant du côté de 1, 4 et 7.

En quoi est-ce un problème ? Si on a 12 des deux côtés de la contradiction, alors 1, 4 et 7 ne relèvent pas d’une vraie négation, puisque leur combinaison se retrouve également du côté de la contradiction d’où on les a ôtés.

À quoi servirait de « retirer » 1, 4 et 7 d’une liste de chiffres si on obtenait leur résultat tout de même dans cette liste ? Le même résultat est la preuve qu’ils seraient encore dans la « liste », même sous une autre forme.

Ce que l’on découvre ici, c’est la contradiction propre au calcul, qui est « effacée » dans le résultat.

En effet, on a bien 1 + 4 + 7 = 12 = 10 + 2. Cependant, si on regarde, ce qu’on a, c’est graphiquement cela.

On voit tout de suite la différence.

On a bien 12 à chaque fois, mais il existe soit 12 comme qualité (tous les éléments sont réunis), soit 12 comme quantité. C’est la contradiction entre quantité et qualité.

Cela nous permet d’y voir plus clair. En effet, on va distinguer 12 comme quantité et 12 comme qualité.

Reprenons la contradiction.

1, 4, 7, 12 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Il est vrai que 1, 4 et 7 additionnés donnent la même chose que l’addition de 10 et 2. Mais dans une addition, on a un résultat comme qualité. L’addition est quantité qui produit une qualité, par le dépassement des éléments initiaux. C’est cela qui fait que 12 est, dans la contradiction, du côté de l’addition, non dans la liste d’où on a retiré 1, 4 et 7.

10 et 2 donnent 12, mais 12 comme quantité, non comme qualité ! C’est l’addition de 1, 4 et 7 qui donnent 12.

Naturellement, on pourrait faire l’addition avec 10 et 2 au lieu de 1, 4 et 7. Mais ici, ce n’est pas le cas et c’est secondaire, en raison de la dignité du réel.

Prenons un exemple pour saisir cet aspect et avoir une vue d’ensemble. On ouvre l’armoire et on retire un pantalon, puis un autre, enfin encore un autre. Du point de vue de l’armoire, on a retiré un pantalon, à chaque fois, mais également trois pantalons au total.

Ce total est essentiel, comme qualité. Si on ne plaçait pas le résultat de l’addition du côté des chiffres de l’addition dans la contradiction, il n’y aurait pas trois pantalons en moins, mais seulement un pantalon, un autre pantalon et un autre pantalon, soit la quantité.

Maintenant, voyons cet aspect suivant. Si on a 9 pantalons en tout, on peut encore en retirer trois autres. Cela fait que le chiffre trois, qu’on pensait « retiré » de l’armoire, peut finalement encore être présent.

Seulement voilà, ce n’est pas le cas, car on a déjà retiré trois pantalons, donc en retirer de nouveau trois aboutirait à six pantalons enlevés. C’est le chiffre 6 qui est alors en jeu, pas le chiffre 3 de nouveau !

On arguera que 3 + 3 = 6.

Oui, tout comme 1 + 1 + 1 +1 +1 + 1 = 6.

Quand on enlève deux fois trois pantalons ou six fois un pantalon, on aboutit à la même chose.

Seulement, la détermination du résultat implique qu’on enlève celui-ci ici de l’armoire (et en fait de la liste des nombres, c’est-à-dire de l’infini).

Il reste un problème, pourtant. Dans 1 + 4 + 7 = 12, on a une addition qui donne 12. Autrement dit, si on a 12, en effet, on n’a plus 1, 4 et 7, qui ont permis d’arriver 12.

On peut les garder, toutefois on a alors 12 décomposé en trois éléments, et donc plus la qualité. Cela reviendrait à une forme telle 10 + 2.

Pour préserver la qualité, il faut faire disparaître 1, 4 et 7, c’est-à-dire les remettre dans la liste des nombres (c’est-à-dire l’infini).

On avait comme contradiction :

1, 4, 7 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Ce qui donne la contradiction :

1, 4, 7, 12 ● 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Pour amener à la contradiction :

12 ● 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, etc.

Nous avons avancé ! Mais l’addition est une opération qui semble pourtant insoluble, puisque les chiffres (ici 1, 4 et 7) doivent exister pour en fait disparaître. Pour qu’on ait un résultat il faut la suppression des éléments de l’addition, mais on n’a pas le résultat sans ces éléments additionnés ! C’est une contradiction, il faut la saisir.

Si on était en physique, on dirait qu’il y a une transformation matérielle, ce qui s’appelle le temps et explique la différence entre les éléments et le résultat. Mais on est en mathématique et on ne dispose pas du temps.

Quelle est alors la solution ?

La solution est le 0. L’annulation des nombres – 1, 4 et 7 tout comme 12 – signifie leur retour dans la liste infinie des nombres. Là est la nature du 0 en mathématiques : c’est le nexus.

1, 4 et 7 portent l’infini. Mais d’eux-mêmes ils ne vont pas à l’infini, même si on les additionne, les multiplie par eux-mêmes. Ils tendent vers l’infini. Ils relèvent toutefois de l’infini : la matière est inépuisable. En ce sens, ils sont 1, 4 et 7, et ils ne le sont pas.

Ainsi, quand on dit 1 + 4 + 7 = 12, on dit en même temps que 12 – (1 + 4 + 7) = 0.

Si on perd cela de vue, on ne voit pas les deux aspects de la contradiction que forme l’addition – et on rate la dialectique dans les mathématiques.

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Prenons une contradiction. Elle s’établit au moyen de deux contraires, tels le haut et le bas, le chaud et le froid, le grand et le petit, le positif et le négatif, etc.

Si on voulait la représenter, on pourrait procéder en représentant les deux contraires, par exemple en plaçant un plus et moins côte à côte : + -.

Cependant, on pourrait considérer qu’il manque le rapport entre les deux contraires. Le fameux yin et le yang proposent de mettre une partie d’un contraire dans l’autre, mais cela ne peut pas nous satisfaire, car cela ramène au dualisme.

Le dualisme est une forme primitive de matérialisme dialectique. Il mêle les contraires dans un sens stabilisateur ou dans un sens antagonique seulement. Il ne perçoit pas que l’unité et la lutte sont eux-mêmes des contraires.

Ce qu’il nous faudrait, c’est éventuellement un symbole, tel ●.

Cela donnerait : + ● – ou bien – ● +.

On aurait ici le lien entre les contraires qui serait visible. Ce lien exprime dans sa substance à la fois l’unité et la lutte des contraires. Ce lien est lui-même contradictoire. C’est très important pour la suite, pour comprendre le 0.

Maintenant, à quoi cela fait-il penser ? Indéniablement aux mathématiques.

Le ● est un rapport et on pense tout de suite au rapport mathématique, avec l’addition, la soustraction, la multiplication, la division (qui sont eux-mêmes des contraires).

Cela ne va pas être pratique avec les symboles positif et négatif, alors prenons en deux autres, pour indiquer la croissance et la décroissance, ou le haut et le bas, etc : ▲ et ▼.

On a ainsi : ▲●▼, ▲+▼, ▲-▼, ▲x▼, ▲/▼, ainsi que ▼●▲, ▼+▲, ▼-▲, ▼x▲, ▼/▲.

On remarquera ici au passage les contraires encore, puisque l’addition et la multiplication reviennent au même à gauche et à droite, car il est indifférent d’être à gauche ou à droite du signe + ainsi que du signe x. Il y a à la fois unité et lutte dans le rapport de ▲ et ▼ dans leur rapport à leur propre rapport.

Ce qui compte cependant ici, c’est qu’on a compris la constitution des mathématiques dans son rapport à la contradiction. Les mathématiques sont le portrait d’un certain rapport.

Les mathématiques n’établissent pas de rapport, elles constatent un rapport.

Lorsqu’on dit que 1 + 1 = 2, on n’établit pas ni les 1 et le 2, ni le rapport. On le constate seulement. Le matérialisme dialectique dit que ce rapport est contradictoire. Mais il dit également que ce rapport est dialectique. C’est là où le 0 va intervenir.

Si un rapport est contradictoire, il implique l’unité et la lutte. Les mathématiques peuvent le constater. Seulement, l’unité et la lutte, c’est une différence. Et la différence produit le saut qualitatif. Or, cela, la représentation mathématique élémentaire ne le montre pas.

Lorsqu’on dit 1 + 1 = 2, on établit un rapport entre les deux 1, il y a une unité (comme il pourrait y avoir une lutte avec une soustraction, et la lutte est elle-même unité et l’unité elle-même lutte, puisque l’unité des deux 1 dans l’addition est une lutte contre eux-mêmes puisqu’ils s’effacent au profit du 2).

Il manque toutefois le caractère dialectique de ce rapport.

Qui peut, mathématiquement, représenter ce caractère dialectique ?

Le 0, car il est à la fois rien et l’infini. Pour le comprendre, il faut partir du principe selon lequel « toute détermination est négation » » ». Cela a été formulé par Spinoza et Karl Marx le reprend à son compte.

Quand on prend 1-1=0, il ne faut pas comprendre qu’il n’y a plus rien. Il faut comprendre que les éléments sont revenus dans l’infini. Là est la clef véritable des mathématiques.

Il faut imaginer les mathématiques comme un immense outil comptable. 1-1=0 c’est on prend une banane et on la mange, donc il n’y a plus de banane. Mais la banane a en réalité été transformée, donc le 0 représentant l’absence de banane équivaut à l’infini où la banane transformée (dans la digestion, dans les ordures) s’en est allée.

Cela veut dire que pour qu’une opération mathématique soit correcte, il faut toujours revenir au 0. Il faut en effet toujours revenir à l’infini.

Le 0 est le point de départ et le point d’arrivée des mathématiques, car on part de quelque chose (qu’on différencie du reste de l’infini) pour en revenir à quelque chose, mais transformé.

Sans cela, il y aurait bien un rapport… mais pas dialectique.

C’est pourquoi, quand on dit que 1 + 1 = 2, il faut bien comprendre que cela veut dire également :

2 = ajout du 1 et du 1, donc 2 = suppression du 1 et suppression du 1.

Ainsi : 2 = 1 + 1 = – (1+1) et comme on le sait cela donnerait -(1+1) = -2, ce qui n’est pas une suppression. Les mathématiques utilisent le 0 pour cela.

Ce qui donne par conséquent 2 = 1 + 1 = 0 (1+1), soit 2 = 1 + 1 = 0, soit 2 = 0.

Telle est la dialectique dans le rapport mathématique : toute détermination est une négation. Il ne peut pas en être autrement.

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